Delineamento em Blocos Casualizados em esquema fatorial
1. Introdução
Os experimentos fatoriais não constituem um delineamento experimental, mas um esquema de desdobramentos dos graus de liberdade e soma de quadrados de tratamentos em um determinado delineamento (seja DIC, DBC, ...).
Nos delineamentos em DIC e DBC comparamos tratamentos referentes a um único fator (adubos, temperaturas, clones, ...) e fixamos os demais, como se pode observar nos respectivos modelos estatísticos:
Delineamento Inteiramente Casualizado (DIC):
yij = m + ti + eij
Delineamento em Blocos Casualizados (DBC):
yij = m + bj + ti + eij
No caso do esquema fatorial estudamos mais de um fator simultanemante e a interação entre eles. Assim, temos os fatores e os níveis de cada fator, cujas combinações entre eles definem os tratamentos.
Na área florestal temos como exemplos de delineamentos em esquema fatorial (tratamentos qualitativos e quantitativos) a avaliação de diferentes clones em diferentes espaçamentos; a produção de diferentes clones em diferentes níveis de adubação; produção de mudas de diferentes espécies florestais em diferentes níveis de N, P e K....
Modelos estatístico DIC em esquema fatorial com dois fatores A e B:
yklj = m + Ak + Bl + (AB)kl + eklj
Modelos estatísticos DBC em esquema fatorial com dois fatores A e B:
yklj = m + bj + Ak + Bl + (AB)kl + eklj
Independentemente do delineamento (DIC ou DBC), tem-se as seguintes hipóteses no esquema fatorial:
Para o fator A:
Ho : os níveis do fator A têm o mesmo efeito, ou seja, A1 = A2 = ... = AK .
Ha : pelo menos dois níveis do fator A têm efeitos diferentes.
Para o fator B:
Ho : os níveis do fator B têm o mesmo efeito, ou seja, B1 = B2 = ... = BL .
Ha : pelo menos dois níveis do fator B têm efeitos diferentes.
Para a interação entre os fatores A e B:
Ho : todas as combinações entre os níveis do fator A e do fator B têm o mesmo efeito, ou seja, A1B1 = A1B2 = ... = AKBL .
Ha : pelo menos duas combinações entre os níveis do fator A e do fator B têm efeitos diferentes.
2. Exemplo
Seja um delineamento em blocos casualizados (DBC) com fatores qualitativos, composto por 3 blocos (j=3), no qual se avaliou a produção de biomassa de 3 espécies (k=3) e 3 herbicidas (l=3) – um fatorial 3x3. O modelo estatístico é:
yklj = m + bj + Espk + Herbl + (Esp.Herb)kl + ejkl
Após a avaliação de pressupostos de normalidade e homocedasticidade os dados foram transformados, pela aplicação do logaritmo, para proceder as análises. Assim, sejam os dados após a transformação:
Em que: j=bloco (ou repetição); k=níveis do fator A; l=níveis do fator B. Tal que: j=3; k=3; l=3; kl=9; jkl=27.
Com o banco de dados anterior, procedeu-se, inicialmente, a ANOVA para verificar o efeito dos tratamentos, onde as somas de quadrado de total, bloco, tratamento e resíduo, foram:
O quadro da ANOVA, então, ficou assim definido:
Os valores tabelados da estatística F para bloco e tratamentos, são, respectivamente:
* Bloco:
F(5%;2 e 16gl) = 3,63
* Tratamentos:
F(5%;8 e 16gl) = 2,59
Comparando-se os valores tabelados com os valores calculados de F na ANOVA, conclui-se que os blocos tem o mesmo efeito (aceitação de Ho) e que pelo menos dois tratamentos têm efeitos diferentes (rejeição da hipótese Ho).
Como rejeitou-se a hipótese Ho para tratamentos, deve-se desdobrar o efeito dos tratamentos em: espécie, herbicida e interação espécie x tratamento.
Para facilitar o entendimento, elaborou-se um quadro resumo para calcular as somas de quadrado de espécie, herbicida e interação espécie x tratamento. Cada valor no quadro abaixo vem de três observações (Ti), conforme pode-se observar no primeiro quadro deste post onde são mostrados todos os dados. Assim, os totais para espécie (E) e herbicida (H) são obtidos de um total de 9 observações.
As somas de quadrado para espécie, herbicida, interação espécie x herbicida, são:
Agora, o quadro da ANOVA, que apresentava as seguintes estimativas:
Passou a ter as seguintes estimativas, após o desdobramento da soma de quadrado dos tratamentos e respectivos graus de liberdade
Os valores tabelados da estatística F, para espécie, herbicida e interação entre eles, é:
*Espécie (E) e Herbicida (H):
F(5%;2 e 16gl) = 3,63
* Interação E x H:
F(5%;4 e 16gl) = 3,01
Como a interação entre espécie e herbicida foi estatisticamente significativa a 5%, pelo teste F, há a necessidade de desdobrar os fatores, devendo-se estudar os níveis dos fatores dentro de cada fator.
Caso não houvesse interação significativa, os efeitos dos fatores seriam independentes sobre a produção de biomassa. No exemplo, como o efeito do herbicida sozinho foi não significativo, estudaríamos somente o efeito da espécie sobre a produção de biomassa.
Desdobramento com aplicação do teste Tukey:
Sendo: q(5%; 3 e 16gl) = 3,65 (para herbicida e espécie). Então:
1º Desdobramento:
Testar a espécie dentro do herbicida, isto é variar a espécie dentro de cada herbicida. Para isso, deve-se calcular as médias.
Assim, ordenar médias das espécies dentro de cada herbicida (considerar os valores nas linhas):
E/H1 E2/H1 = 2,0394 a E/H3 E2/H3 = 1,8540 a
E3/H1 = 1,5756 b E3/H3 = 1,7409 a
E1/H1 = 1,4526 b E1/H3 = 1,7105 a
E/H2 E2/H2 = 2,0917 a
E3/H2 = 1,6202 b
E1/H2 = 1,5469 b
Conclusão:
A espécie 2 difere das espécies 1 e 3 na produção de biomassa quando aplicados os herbicidas 1 e 2. Faz sentido este desdobramento?
2º Desdobramento:
Testar o herbicida dentro da espécie, isto é variar o herbicida dentro da espécie. Calculando-se as médias dos tratamentos, como anteriormente, tem-se:
Assim, ordenar médias dos herbicidas dentro de cada espécie (considerar os valores nas colunas):
H/E1 H3/E1 = 1,7105 a H/E3 H3/E3 = 1,7409 a
H2/E1 = 1,5469 a H2/E3 = 1,6202 a
H1/E1 = 1,4526 a H1/E3 = 1,5756 a
H/E2 H2/E2 = 2,0917 a
H1/E2 = 2,0394 a
H3/E2 = 1,8540 a
Conclusão:
Os herbicidas têm o mesmo efeito sobre a produção de biomassa, independentemente das espécies, conforme tinha sido constatado no teste F da Anova.