Equações volumétricas

1. Introdução

É prática comum nos procedimentos de inventário florestal o uso de equações volumétricas para estimar os volumes das árvores dentro das unidades de amostragem. Tal procedimento se faz necessário uma vez que a derrubada e a posterior cubagem de um grande número de árvores para determinar o estoque da floresta, além de demandar um tempo exageradamente grande para sua execução, onera muito a atividade.

2. Exemplo

Na literatura existem vários modelos volumétricos, no entanto neste exemplo iremos mostrar o ajuste de dois modelos amplamente empregados no meio florestal. Os modelos avaliados, em sua forma linear, serão:

Sejam os seguintes dados, salvos no arquivo exemplo1:

2.1. Ajuste da equação 1

O método dos Mínimos Quadrados Ordinários foi utilizado para obter as estimativas dos parâmetros do modelo 1, por meio dos seguintes comandos:

O resultado do ajuste, incluindo estimativas dos parâmetros, Anova e medidas de precisão, foram:

A equação se ajustou bem aos dados observados (R² = 0,9936) e as estimativas dos parâmetros foram todas significativas (p-valor < 0,05).

Gráficos da distribuição dos valores observados em relação aos estimados e dos resíduos em relação aos volumes estimados (na escala logarítmica) foram elaborados para a avaliar o ajuste da equação 1, com os seguintes comandos:

Os gráficos de distribuição a seguir indicam que a equação 1 se ajustou bem aos dados observados do logaritmo do volume.

No entanto, é possível avaliar o ajuste por meio de gráficos mostrando o comportamento das estimativas de volume na escala original. Para isso, pode-se utilizar os seguintes comandos:

Os gráficos na escala original são apresentados a seguir, onde se observa tendência de heterocedasticidade dos resíduos, o que deve ser confirmado por meio de teste estatístico, como, por exemplo, o teste de White:

2.2. Ajuste da equação 2

A equação referente ao modelo 2 também foi ajustada pelo Método dos Mínimos Quadrados, por meio de comandos semelhantes aos do modelo anterior:

De acordo com os resultados abaixo, a equação referente ao modelo 2 também ajustou-se bem aos dados observados (R² =0,9926) e os parãmetros foram todos significativos (p-valor < 0,05).

Novamente, gráficos da distribuição dos valores observados em relação aos estimados e dos resíduos em relação aos volumes estimados (na escala logarítmica) foram elaborados para a avaliar o ajuste da equação 2, considerando os seguintes comandos:

Os gráficos também mostram que a equação 2 ajustou-se bem aos dados observados do logaritmo dos volumes.

De forma complementar, elaborou-se gráficos mostrando o comportamento das estimativas de volume da equação 2 na escala original. Para isso, foram utilizados os seguintes comandos:

Os gráficos na escala original, para a equação 2, mais uma vez mostram a tendência de heterocedasticidade dos resíduos, à semelhança a da equação 1.

Como as duas equações possuem a variável dependente na mesma escala (logarítmica), as medidas de precisão podem ser comparadas. O erro padrão residual (S_y.x) é diretamente comparável, no entanto, como as equações possuem número de variáveis independentes diferentes, deve-se comparar os coeficientes de determinação ajustados (Adjusted R-squared). No exemplo em questão, a equação 1, referente ao modelo de Schumacher e Hall (1933), foi a equação mais precisa.

Quando as equações não possuem a variável dependente na mesma escala, por exemplo, quando em uma equação a variável dependente está na escala logarítmica e na outra equação a variável dependente está na escala original de medição (sem transformação), as medidas de precisão das equações não são comparáveis. Neste caso, deve-se recalcular as medidas de precisão da equação ajustada com a variável transformada na escala original para possibilitar a comparação. Exemplo desta situação é apresentado no post sobre "Relações hipsométricas".