Estimadores da Distribuição Normal

Utilizando o conceito de esperança matemática tem-se as seguintes deduções dos estimadores da média; variância e variância da média (erro padrão da média)·     

* Média:

Seja X ~ N(μ, σ²), assim espera-se que  seja um estimador não tendenciosos de μ, ou em outras palavras, que E()= μ.

Desta forma, se:

Então:

Se o valor esperado de um determinado valor de X_i é igual a média (μ), então a expressão anterior pode ser escrita como:

Ou seja,  é um estimador não tendenciosos de μ.

* Variância:

Se X ~ N(µ, σ^²), assim espera-se que S^² seja um estimador não tendenciosos de σ^² ou  que E(S^²) = σ^².

Seja, então, que:

Dividindo-se os dois lados da igualdade por n, tem-se:

Assumindo que:

então:

Aplicando-se a esperança matemática dos dois lados da igualdade na expressão anterior para verificar se E(S^²) = σ^², tem-se:

Desta forma, demonstrou-se que: 

é um estimador tendencioso da variância populacional, uma vez que E(S^²) ≠ σ^².

Se o denominador da expressão:

fosse n-1, o estimador da variância seria não tendencioso [E(S^²) = σ^²]. Assim, o estimador não tendencioso da variância, é dado, então, por:

* Variância da média

Seja X ~ N(µ, σ^²), assim espera-se que  seja um estimador não tendenciosos de , tal que:

De uma amostra de n observações, a média das observações é dada por:

Então:

Se a variância associada a um determinado valor de X_i é igual a σ^², então a expressão anterior pode ser reescrita:

Uma vez que S^² é um estimador não tendencioso de σ^², conforme demonstrado anteriormente, então: 

Logo, o erro padrão da média é dado por: