Modelo de Distribuição Diamétrica

1. Preliminares

Essa categoria de modelo normalmente baseia-se em funções densidade de probabilidades (f.d.p.`s), permitindo descrever as alterações ocorridas na estrutura diamétrica do povoamento ao longo do tempo, em diferentes condições de estabelecimento. Entre as f.d.p`s mais empregadas no desenvolvimento destes modelos, tem-se: Gama, Weibull, Sb-Johnson, exponencial, entre outras.

Embora existam diferentes alternativas de modelagem, neste post vamos dar ênfase ao uso da função Weibull (clique aqui para acessar post sobre a função) e no método de recuperação dos parâmetros para o desenvolvimento de um modelo de distribuição diamétrica.

2. Banco de dados

Considerando um conjunto de dados de parcelas permanentes, ter-se-ia o seguinte banco de dados:

Em que: I = idade; S = índice de local; B/ha = área basal por hectare; N = número de árvores por hectare; q = diâmetro quadrático; Dmin = dap mínimo; Dmax = dap máximo; e Hd = altura média das árvores dominantes; Valores 5, 7,  ... = centros das classes de diâmetro.

Com os dados do número de árvores por classe de diâmetro (Classe de dap) é possível ajustar a função Weibull três parâmetros ou dois parâmetros (clique aqui para ver post sobre o ajuste), para cada parcela, em cada idade, de tal forma que o banco de dados fique assim definido:

Desta forma, com o banco de dados anterior, é possível utilizar um processo de modelagem o qual consiste em ajustar equações que consigam recuperar os parâmetros da função Weibull (β e γ) em função de variáveis dos povoamentos e projetar estrutura diamétrica em uma dada condição do povoamento (idade, área basal, capacidade produtiva), bem como obter estimativas de volume, área basal, entre outras características dos povoamentos.

3. Exemplo de modelo

Como exemplo de um modelo de distribuição diamétrica, seja o conjunto de equações desenvolvidas por Leite (1990), para povoamentos de Eucalyptus saligna, em regime de talhadia, na qual foi utilizada a função Weibull três parâmetros, com o parâmetro alfa (α) igual ao limite inferior da menor classe de diâmetro:

em que: h = altura total estimada, em m; Vtcc = volume total com casca estimado, em m³; Hd = altura dominante estimada, em m; I = idade, em meses; S = índice de local, em m; q = diâmetro médio estimado, em cm; Dmax = diâmetro máximo estimado, em cm; N₂ = corresponde ao número de árvores remanescentes por hectare, na idade (I);  β e γ = parâmetros da função Weibull.

Sendo que N₂ pode ser estimado por uma função ou pela fixação de um percentual de mortalidade apropriado para a idade de projeção da distribuição diamétrica e capacidade produtiva.

4. Exemplo de projeção

Seja a seguinte situação na qual deseja-se estimar o volume por classe de diâmetro e total por hectare, bem como a área basal por classe e por hectare de um povoamento de eucalipto, plantado no espaçamento 3x2m, aos 60 meses de idade, na classe de índice de local (S) igual a 26 e cujo número de árvores remanescentes nesta idade é igual a 1500 árvores por hectare.

Assim sendo, utilizando o conjunto de equações descritas anteriormente e tendo como inputs as variáveis: I=60, S=26 e N₂=1500, tem-se:

No passo seguinte, deve-se definir as classes de diâmetros que contemplem até o diâmetro máximo estimado (Dmax =18,33327cm) e calcular as alturas médias das árvores e os respectivos volumes para cada classe, utilizando as seguintes equações:

Por exemplo, se a primeira classe tiver como centro da classe o valor igual a 5 cm, as estimativas de altura e volume, serão:

Repetindo-se esta operação para todas as classes, obtém-se:

O próximo passo é calcular as probabilidades acumuladas até o limite superior das classes de diâmetro. Para isso, deve-se utilizar a seguinte expressão:

Por exemplo, para as classes de 5 e 7 cm, as probabilidades acumulada serão:

Desta forma, a tabela anterior fica assim redefinida:

Para encontrar o número de árvores por hectare em cada classe diamétrica deve-se efetuar utilizar a seguinte expressão:

em que: F(X_i) e F(x_i-1) são as probabilidades acumuladas; N = número total de árvores observadas = 1500.

Exemplos:

* Classe = 5 cm

* Classe = 7 cm

O volume por hectare e a área basal por hectare em cada classe de diâmetro podem ser obtidas por:

* Classe = 5 cm

* Classe = 7 cm

Procedendo-se estes cálculos para todas as classes, obtém-se as seguintes estimativas por classe e total por hectare:

Observa-se no quadro anterior que a probabilidade acumulada na última classe não é igual a 1. Isso pode ser devido à subestimação do diâmetro máximo (Dmax) para esta condição da floresta que está sendo projetada ou porque não foi realizado o truncamento da função à direita, fazendo com que a probabilidade acumulada não feche em 1. Consequentemente, o número total de árvores não fechou em 1500, havendo um déficit de 45,43 árvores por hectare, e o volume e a área basal por hectare ficaram subestimados.

Alternativamente, é possível distribuir o déficit de árvores por hectare (45,43) pelas respectivas classes de diâmetro, na tentativas de minimizar este problema. Para isso, deve-se multiplicar este déficit pelas respectivas probabilidades acumuladas [F(x)]. Utilizando este artifício, as estimativas ficam assim redefinidas:

Mesmo com este procedimento de redistribuição de árvores pelas classes diamétricas, ainda sim o número de árvores por hectare não fechou em 1500, mas, pelo menos, minimizou o problema.

Graficamente, a distribuição diamétrica projetada ficou assim definida: