Modelos Lineares: Dedução dos estimadores

1. Modelo Linear

Os modelos lineares comumente usados na mensuração florestal podem ser escritos matricialmente por:

em que:

tal que:

Para obter as estimativas do vetor de parâmetros, pode-se utilizar o Método dos Mínimos Quadrados (MQO), que minimiza a soma de quadrados dos resíduos (e); ou o Método de Máxima Verossimilhança (MVS), que maximiza a probabilidade de ocorrência da variável dependente (Y). Se a variável dependente e o resíduo possuírem distribuição normal, as estimativas dos parâmetros () serão iguais nos dois métodos, porém a variância do erro () será viesada no MVS.

2. Métodos de Estimação

2.1. Método dos Mínimos Quadrados Ordinários (MQO)

Seja o seguinte modelo linear:

que as estimativas de Y sejam obtidas por:

e que os erros nas estimativas sejam dados por:

Assim sendo, utilizando-se as expressões anteriores, pode-se escrever que:

Para encontrar as estimativas de β₀ e β₁ que minimizam a soma do quadrado do resíduo (fundamento do MQO), deve-se diferenciar parcialmente a expressão 1 em relação aos parâmetros e igualar a zero. Fazendo esta operação, tem-se:

As expressões 2 e 3 podem ser escritas como:

Expandindo-se os somatórios da expressão 4, tem-se o seguinte estimador de β₀:

Expandindo-se também os somatórios da expressão 5, tem-se:

Substituindo-se (7) em (9), obtém-se o estimador de β₁, dado por:

No caso de um modelo linear múltiplo, como, por exemplo:

o qual  pode ser representado matricialmente por:

     , 

pode-se generalizar a  solução de MQO, tal que:

A soma de quadrados dos resíduos () é dada, então, por:

Para encontrar a solução que minimiza a soma de quadrados dos resíduos (expressão 11), tem-se:

Multiplicando-se os dois lados da igualdade por: 

          ,

obtém-se o seguinte sistema de equações normais:

que é a solução que minimiza a soma de quadrados no MQO.

Os estimadores de Mínimos Quadrados são denominados de BLUE (em inglês), que significa: os melhores estimadores lineares não viesados, isto é, aqueles que possuem variância mínima e que:

     .

2.2. Método de Máxima Verossimilhança (MVS)

Seja uma variável Y, tal que: . A função densidade de probabilidade de cada observação de Y, isto é y_i, é também normal, dada por:

A função densidade de probabilidade conjunta e a função de máxima verossimilhança (L), são, respectivamente:

O logaritmo natural de L, é:

Considere agora um modelo de regressão linear simples, como se segue:

Tendo em vista a independência dos valores de , a função densidade de probabilidade conjunta e a função de máxima verossimilhança (L), são, respectivamente:

Desta forma, o logaritmo natura de L, é:

Diferenciando-se parcialmente a expressão 13 em relação , tem-se:

Igualando-se as expressões anteriores a zero e indicando como  os estimadores de Máxima Verossimilhança, tem-se:

Simplificando-se as expressões 14 e 15, obtém-se o seguinte sistema de equações:

cuja estrutura é idêntica à dos estimadores de MQO (expressões 6 e 9). Assim sendo, os estimadores de β₀ e β₁ são idênticos para MQO e MVS, isto é:

Substituindo-se as expressões 17 e 18 na expressão 16, obtém-se o estimador de MVS de , que será:

que é um estimador tendencioso da variância do erro.